Элейская школа довольно интересна для исследования, так как это
одна из древнейших школ, в трудах которой математика и философия до-
статочно тесно и разносторонне взаимодействуют. Основными представи-
телями элейской школы считают Парменида (конец VI - V в. до н.э.) и
Зенона (первая половина V в. до н.э.).
Философия Парменида заключается в следующем: всевозможные сис-
темы миропонимания базируются на одной из трех посылок: 1)Есть толь-
ко бытие, небытия нет; 2)Существует не только бытие, но и небытие;
3)Бытие и небытие тождественны. Истинной Парменид признает только
первую посылку. Согласно ему, бытие едино, неделимо, неизменяемо,
вневременно, закончено в себе, только оно истинно сущее; множествен-
ность, изменчивость, прерывность, текучесть - все это удел мнимого.
С защитой учения Парменида от возражений выступил его ученик
Зенон. Древние приписывали ему сорок доказательств для защиты учения
о единстве сущего (против множественности вещей) и пять доказатель-
ств его неподвижности (против движения). Из них до нас дошло всего
девять. Наибольшей известностью во все времена пользовались зеноновы
доказательства против движения; например, "движения не существует на
том основании, что перемещающееся тело должно прежде дойти до поло-
вины, чем до конца, а чтобы дойти до половины, нужно пройти половину
этой половины и т.д.".
Аргументы Зенона приводят к парадоксальным, с точки зрения
"здравого смысла", выводам, но их нельзя было просто отбросить как
несостоятельные, поскольку и по форме, и по содержанию удовлетворяли
математическим стандартам той поры. Разложив апории Зенона на сос-
тавные части и двигаясь от заключений к посылкам, можно реконструи-
ровать исходные положения, которые он взял за основу своей концеп-
ции. Важно отметить, что в концепции элеатов, как и в дозеноновской
науке фундаментальные философские представления существенно опира-
лись на математические принципы. Видное место среди них занимали
следующие аксиомы:
1. Сумма бесконечно большого числа любых, хотя бы и бесконечно
малых, но протяженных величин должна быть бесконечно большой;
2. Сумма любого, хотя бы и бесконечно большого числа непротя-
женных величин всегда равна нулю и никогда не может стать некоторой
заранее заданной протяженной величиной.
Именно в силу тесной взаимосвязи общих философских представле-
ний с фундаментальными математическими положениями удар, нанесенный
Зеноном по философским воззрениям, существенно затронул систему ма-
тематических знаний. Целый ряд важнейших математических построений,
считавшихся до этого несомненно истинными, в свете зеноновских пост-
роений выглядели как противоречивые. Рассуждения Зенона привели к
необходимости переосмыслить такие важные методологические вопросы,
как природа бесконечности, соотношение между непрерывным и прерыв-
ным и т.п. Они обратили внимание математиков на непрочность фунда-
мента их научной деятельности и таким образом оказали стимулирующее
воздействие на прогресс этой науки.
Следует обратить внимание и на обратную связь - на роль матема-
тики в формировании элейской философии. Так, установлено, что апории
Зенона связаны с нахождением суммы бесконечной геометрической прог-
рессии. На этом основании советский историк математики Э. Кольман
сделал предположение, что "именно на математический почве суммирова-
ния таких прогрессий и выросли логико-философские апории Зенона".
Однако такое предположение, по-видимому, лишено достаточных основа-
ний, так как оно слишком жестко связывает учение Зенона с математи-
кой при том, что имеющие исторические данные не дают основания ут-
верждать, что Зенон вообще был математиком.
Огромное значение для последующего развития математики имело
повышение уровня абстракции математического познания, что произошло
в большой степени благодаря деятельности элеатов. Конкретной формой
проявления этого процесса было возникновение косвенного доказатель-
ства ("от противного"), характерной чертой которого является доказа-
тельство не самого утверждения, а абсурдности обратного ему. Таким
образом был сделан шаг к становлению математики как дедуктивной нау-
ки, созданы некоторые предпосылки для ее аксиоматического построе-
ния.
Итак, философские рассуждения элеатов, с одной стороны, явились
мощным толчком для принципиально новой постановки важнейших методо-
логических вопросов математики, а с другой - послужили источником
возникновения качественно новой формы обоснования математических
знаний.